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\begin{document}

\title{La segunda ley de Newton}
\author{Orlando Alvarez-Llamoza}
\affiliation{Laboratorio de Física General II, Departamento de Física,
Facultad Experimental de Ciencias y Tecnología, Universidad de Carabobo,
Valencia - Venezuela}
    
\begin{abstract}
Se estudia la posición de un sistema compuesto de dos masas como función del
tiempo usando un aparato {\it spark timer}. Empleando la data recolectada,
la velocidad instantánea fue aproximada calculando la velocidad promedio en
intervalos de tiempo de 1/30 segundos. La aceleración del sistema fue
determinada de a partir de la pendiente de un gráfico de la velocidad en función
del tiempo. El resultado obtenido para la aceleración $a=59.1 \pm 1.5$ cm/s$^2$
tiene una discrepancia de 3\% con respecto al valor teórico encontrado
utilizando la segunda ley de Newton $60.9$ cm/s$^2$.
\end{abstract}

\maketitle

\section{Introducción}

Las leyes de Newton son tres leyes físicas que forman la base de la mecánica
clásica, Ellas describen la relación entre las fuerzas actuando sobre un cuerpo
y el movimiento resultante debido a estas fuerzas. Las tres leyes de Newton, o
leyes de movimiento fueron compiladas por primera vez por Sir Isaac Newton en
su trabajo {\sf Philosophi\ae{} Naturalis Principia Mathematica}, publicada
por primera vez en 1687. Las tres leyes de movimiento pueden ser sumarizadas de
la siguiente manera \cite{Resnick}:
\begin{description}
 \item[Primera Ley] Todo cuerpo permanece en un estado de velocidad constante
(que incluye el reposo: $\vec{V}=0$), a menos que sobre él actúe una fuerza
externa.
 \item[Segunda Ley] Un cuerpo de masa $m$ sujeto a una fuerza neta $\vec{F}$,
posee una aceleración $\vec{a}$ en la misma dirección de la fuerza y una
magnitud que es directamente proporcional a esta fuerza e inversamente
proporcional a la masa, es decir, $\vec{F}=m\vec{a}$.
 \item[Tercer Ley] Las fuerzas de interacción de acción y reacción entre dos
cuerpos son iguales, opuestas y colineales. Esto implica que cuando un cuerpo
ejerce una fuerza $\vec{F}$ sobre un segundo cuerpo, el segundo cuerpo ejercerá
una fuerza $-\vec{F}$ igual en magnitud y opuesta en dirección.
 \end{description}

Las leyes de movimiento son aplicadas a cuerpos, los cuales son considerados o
idealizados como una partícula, en el sentido que su forma o extensión son
despreciados en la evolución de su movimiento, es decir, los cuerpos son
pequeños comparados con las distancias involucradas en el análisis y la
rotación o la deformación de éstos no es considerada.

En este experimento se verifica la segunda ley de Newton para un sistema de
masa constante sujeto a la acción de una fuerza externa constante. El valor
obtenido experimentalmente se compara con el valor teórico determinado aplicando
las leyes de movimiento. 

\section{Objetivos}

El objetivo principal de la práctica consiste en la comprobación experimental
de la segunda ley de Newton.

\section{Fundamentos teóricos}

La segunda ley establece que la fuerza neta sobre una partícula es igual a la
tasa de cambio con respecto al tiempo de su momento lineal $\vec{P}=m\vec{V}$ en
un
marco inercial de referencia:
\begin{equation}
 \vec{F}=\frac{d\vec{P}}{dt}=\frac{d(m\vec{V})}{dt},
\end{equation}
donde, si se tiene un sistema de masa constante \cite{Zemansky,Serway}, la
masa se puede colocar fuera del operador diferencial y ser tomada como un factor
constante, así
\begin{equation}
 \vec{F}=m\frac{d\vec{V}}{dt}=m\vec{a}.
\end{equation}

Cualquier cantidad de masa ganada o perdida por el sistema causará un cambio en
el momento que no es el resultado de la interacción de una fuerza externa. En
este caso es necesario una ecuación diferente para el sistema de masa variable.

En este experimento se construye un sistema de dos cuerpos de masa $M$ y $m$
respectivamente, unidos por una cuerda que pasa a través de una polea. La masa
de la cuerda, la de la polea, y el rozamiento en el eje de la polea son
despreciables.
El cuerpo de masa $M$ se encuentra sobre un mesón cuya superficie no tiene
fricción, y el cuerpo $m$ se encuentra colgado, tal como lo muestra la figura
(\ref{system}). Aplicando un diagrama de cuerpo libre, para el cuerpo $M$ se
tienen las siguientes ecuaciones:
\begin{eqnarray}
 \sum F_x &=& T=Ma_x,\\
 \sum F_y &=& N-mg=0,
\end{eqnarray}
y para el cuerpo $m$:
\begin{eqnarray}
 \sum F_x &=& 0,\\
 \sum F_y &=& T-mg=ma_y,
\end{eqnarray}
donde $T$ es la tensión en la cuerda y $g$ es la aceleración debida a la
fuerza de gravedad.

El sistema de ecuaciones anterior se resuelve tomando en cuenta que
$a_x=-a_y$, se elimina la tensión y se obtiene la expresión para la magnitud de
la aceleración $a$ de las dos masas, 
\begin{equation}
 a=\frac{m}{m+M}g.
\label{aceleracion}
\end{equation}

\begin{figure}[t]
\centering{
\includegraphics[scale=0.7]{sistema.jpg}}
\caption{Sistema de dos cuerpos para el experimento de la segunda ley de
Newton.}
\label{system}
\end{figure}

\section{Equipos e instrumentos}

\begin{enumerate}
 \item Un {\it spark timer} con tiempo de marcaje de 1/60 s. 
 \item Una balanza mecánica de apreciación 0.02 g.
 \item Una cinta métrica de apreciación 0.02 cm.
 \item Un cuerpo de masa $M=154.35 \pm 0.02$ g.
 \item Un cuerpo de masa $m=10.23 \pm 0.02$ g.
 \item Una pista de aire.
 \item Un cinta de papel de masa despreciable.
 \item Una polea con masa y fricción en el eje despreciable.
\end{enumerate}

\begin{figure}[ht!]
\centering{
\includegraphics[scale=0.5]{spark_timer.jpg}}
\caption{Instrumento spark-timer utilizado en el experimento de la segunda ley
de Newton.}
\label{spark_timer}
\end{figure}

\section{Procedimiento Experimental}

Para realizar el experimento se hace un montaje como muestra la
figura (\ref{system}). La fuerza es proporcionada por la masa $m$ cayendo en el
campo gravitatorio terrestre. La masa $M$ está colocada sobre una pista
y es halada por la fuerza transmitida mediante la cinta unida al cuerpo
suspendido de masa $m$. La pista y la polea tienen pequeños orificios por donde
se inyecta aire para reducir el efecto de la fricción. Las dos masas se
encuentran conectadas por una cinta liviana que pasa por el aparato {\it spark
timer}, y en la cuál se realizan marcas cada 1/60 s. La figura
(\ref{spark_timer}) muestra el aparato {\it spark timer} utilizado.

La velocidad de la masa $M$ se determina midiendo la distancia entre las marcas
realizadas en la cinta y dividiendo esta distancia por el intervalo de tiempo
que ha transcurrido entre la creación de las marcas. La posición de las marcas
sobre la cinta fueron medidas utilizando una cinta métrica, y la velocidad en 
las marcas duodécimas fueron estimadas utilizando la fórmula
\begin{equation}
 V_i=\frac{\Delta x_i}{\Delta t}=\frac{x_{i+1}-x_{i-1}}{\Delta t},
\label{vel_media}
\end{equation}
donde $\Delta x_i$ es el desplazamiento entre un punto previo $i-1$ y uno
sucesivo $i+1$, y $\Delta t_i$ es el tiempo correspondiente (2/60 s = 1/30 s).
El tiempo requerido por la masa para moverse desde un punto cualquiera hasta
otro punto es determinado sabiendo que las marcas están separadas en tiempo por
1/60 segundos. 

A partir de las velocidades obtenidas se realiza un gráfico de la
velocidad en función del tiempo. La pendiente del gráfico representa la
aceleración constante del sistema. 

Finalmente este resultado se compara con el valor teórico predicho por la
ecuación (\ref{aceleracion}).

\section{Resultados y análisis}

Las masas del sistema de la figura (\ref{system}) fueron determinadas por una
balanza mecánica; $m=10.23 \pm 0.02$ g y $M=154\pm 0.02$
g. La posición de las marcas sobre la cinta fueron medidas utilizando una
cinta métrica con apreciación de 0.02 cm. La tabla \ref{medidas} muestra las medidas
realizadas del tiempo y la posición. Esta tabla también muestra la velocidad
calculada en cada punto duodécimo utilizando la fórmula (\ref{vel_media}).

La incertidumbre del desplazamiento $\Delta x_i$ viene dada por $u(\Delta
x_i)=u(x_{i-1})+ u(x_{i+1})$=0.2 cm + 0.2 cm = 0.4 cm, el del intervalo de
tiempo $u(\Delta t)=1/60$ s, y la de la velocidad es determinada por:
\begin{equation}
 \sqrt{u^2(V)}=\left| \frac{\partial V}{\partial(\Delta x)} \right|^2
u^2(\Delta x) + \left| \frac{\partial V}{\partial(\Delta t)}\right|^2
u^2(\Delta t),
\label{u_vel}
\end{equation}
resultando $u(\Delta V)=1.2$ cm/s.

\begin{table}[t!]
%\centering
\begin{tabular}{| c | c | c | c | c | c |}
\hline
Marca & Marc. tiempo & Tiempo & $x_i$  &   $\Delta x_i$     &  $V_i$  \\
i     &  (i/60 s)   & $t_i$   & $\pm 0.02$ & $\pm 0.04$ &   $\pm 1.2$ \\
      &             &    (s)    &  (cm) &  (cm) &  (cm/s)\\
\hline
\hline
11    & 11/60        & 0.183    & 15.78     &                   & \\
12    & 12/60        & 0.200    & 16.39     &    1.24           &  37.2 \\
13    & 13/60        & 0.217    & 17.02     &                   & \\
\hline
23    & 23/60        & 0.383    & 24.33     &                   & \\
24    & 24/60        & 0.400    & 25.16     &    1.67           &  50.1 \\
25    & 25/60        & 0.417    & 26.00     &                   & \\
\hline
35    & 35/60        & 0.583    & 24.33     &                   & \\
36    & 36/60        & 0.600    & 25.16     &    2.04           &  61.2 \\
37    & 37/60        & 0.617    & 26.00     &                   & \\
\hline
47    & 47/60        & 0.783    & 48.52     &                   & \\
48    & 48/60        & 0.800    & 49.76     &    2.51           &  75.3 \\
49    & 49/60        & 0.817    & 51.03     &                   & \\
\hline
59    & 59/60        & 0.983    & 64.25     &                   & \\
60    & 60/60        & 1.000    & 65.61     &    2.79           &  83.7 \\
61    & 61/60        & 1.017    & 67.04     &                   & \\
\hline
71    & 71/60        & 1.183    & 82.22     &                   & \\
72    & 72/60        & 1.200    & 83.82     &    3.23           &  96.9 \\
73    & 73/60        & 1.217    & 85.45     &                   & \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Posición y velocidad del sistema como función del tiempo. $\Delta
t_i=2/60$ s}
\label{medidas}
\end{table}

Con las velocidades estimadas y el tiempo se construye el gráfico
(\ref{velocidad-t}). Utilizando el método de los mínimos cuadrados incluido en
las herramientas de análisis de data del paquete graficador {\sf Xmgrace}, se
determina la ecuación de la recta y las respectivas desviaciones:
\[
 V(t) = (26. + 59.057 t) ~ \rm{m/s},
\]
con un coeficiente de correlación de $R=0.9986$, y donde se identifica la
aceleración constante del sistema como la pendiente, cuyo valor con su
incertidumbre es $a=(59.1 \pm 1.5)$ m/s$^2$.

\section{Conclusiones y recomendaciones}

Se realizó el gráfico (\ref{velocidad-t}) de la velocidad en función del
tiempo. La pendiente de éste gráfico es el valor experimental obtenido de la
aceleración del sistema. Se obtuvo el valor de
\[
 a=(59.1 \pm 1.5) ~ \rm{m/s}^2.
\]

Sustituyendo la magnitud de las masas y tomando el valor de $g=980$ m/s$^2$, el
valor de la aceleración predicho teóricamente por la ecuación
(\ref{aceleracion}), es de $a=60.9$ m/s$^2$. El porcentaje de
discrepancia entre estos el valor teórico y el experimental es de 3\%. 

\begin{figure}[b]
\centering{
\includegraphics[scale=0.75]{velocidad-t.png}}
\caption{Gráfica de la velocidad en función del tiempo}
\label{velocidad-t}
\end{figure}

La buena corcondancia entre el valor de la aceleración medido experimentalmente
en el sistema y el valor predicho teóricamente utilizando las leyes de
movimiento, provee un justificación para la validez de la segunda ley de
Newton. Muchas de las diferencias entre el valor experimental y el teórico
puede ser atribuido a las incertidumbre en las medidas de las distancias entre
las marcas de la cinta. Estas medidas tienen una incertidumbre del orden de
$\pm 0.02$ cm. El desplazamiento, utilizando la propagación de la incertidumbre
viene dado por la cantidad de $\pm 0.04$ cm. La incertidumbre en la velocidad,
calculada a partir de la ecuación (\ref{u_vel}) es de $\pm 1.2$ cm/s. Para
un valor típico de la velocidad esta incertidumbre es del orden del 2\%, para
la mayoría de las discrepancias. Fuentes de error adicionales incluyen la
ubicación incorrecta de las marcas sobre la cinta, debido a que ésta no es
siempre perpendicular al aparato spark timer, y también la fricción a lo largo
de la pista y en el eje de la polea. 

Finalmente, la aceleración calculada teóricamente también tiene una
incertidumbre, proporcionada por la incertidumbre en la medida de las masas y en
como se determinó el valor de la aceleración de la gravedad.

\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{Resnick} Halliday D., Resnick R., y Walker J., {\it Fundamental of
Physics}, Wiley (2001).
\bibitem{Zemansky} Sears F., Zemansky M., Young H., {\it Física Universitaria}.
Addison-Wesley (1988).
\bibitem{Serway} Serway R. y Jewett J., {\it Física para Ciencias e Ingeniería},
CENGAGE Learnig (2008).

\end{thebibliography}




\end{document}
